Dijkstra 基本思想

算法基本思想 　设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。①初始化 　初始化时，只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为空。②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径 　在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。 　当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。 注意： 　①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。 　②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD(v)。
（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集 　根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是： 　源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k 距离为：源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长 　为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈ V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点，则必为红点)的"最短"路径长度（简称估计距离）。 　若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i] i∈V-S}，则D[k]=SD(k)。 　初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边。 注意： 　在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键
（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改 　将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。 　对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：P=。且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径和边组成。 　所以，当length(P)=D[k]+w小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。
（5）Dijkstra算法
Dijkstra(G，D，s){ //用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s}；D[s]=0； //设置初始的红点集及最短距离
for( all i∈ V-S )do //对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i]； //设置i初始的估计距离为w
//以下是扩充红点集
for(i=0;i
/最多扩充n-1个蓝点到红点集
D[k]=min{D[i]：all i V-S}；
//在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
if(D[k]等于∞) return；
//蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，
//表示这些顶点的最短路径不存在。
S=S∪{k}； //将蓝点k涂红后扩充到红点集
for( all j∈V-S )do //调整剩余蓝点的估计距离
if(D[j]>D[k]+G[k][j])
//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
//使j离s更近。
D[j]=D[k]+G[k][j]； }
}